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Primitives et intégrales - Q65

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Considérons un récipient \({\cal R}\) à symétrie circulaire : sa forme est celle d’une surface de révolution. La hauteur de \({\cal R}\) est égale au rayon du cercle qui est le bord de \({\cal R}\) ; la section de \({\cal R}\) par un plan axial est un arc de parabole.

On choisit le système d’axes orthonormés \(Oxy\) comme ceci : \(O\) est le fond de \({\cal R}\) et \(Ox\) est l’axe de symétrie de \({\cal R}\), orienté vers l’intérieur. Soit \(H\) la hauteur du récipient. La demi-parabole qui engendre \({\cal R}\) admet l’équation cartésienne \(y = \sqrt{H \, x}\). (Selon la spécification, elle passe par le point \((H,H)\).)

A quel niveau par rapport à H faut-il remplir le récipient pour qu’il soit à moitié plein ?