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יוצרים Philippe Delsarte, Manon Oreins
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Raisonnement - Q17

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On connaît le fonctionnement des tournois de tennis : après une rencontre opposant deux joueurs, le vainqueur est qualifié pour le tour suivant et le vaincu est éliminé. Peut-on exprimer le nombre de matchs disputés dans un tournoi comme une fonction du nombre de joueurs, indépendamment de la formule établie par les organisateurs ? Si oui, quelle est la forme explicite de cette fonction ?

Il y a des variantes dans l’organisation. D’abord, si le nombre de joueurs inscrits n’est pas une puissance de deux, la règle habituelle veut que quelques joueurs (les mieux classés) soient dispensés du premier tour. Ensuite, il est fréquent que soient organisés des tours préliminaires de qualification pour un certain nombre de joueurs — ceux qui ne font pas d’emblée partie du tableau final. Enfin, on pourrait imaginer une dérive où certaines stars seraient dispensées de plusieurs tours. Dans le problème envisagé ici, tous les cas de figure sont admis, y compris une situation limite où un joueur superstar jouerait la finale sans avoir dû disputer aucun autre match.

Soit \(n\) le nombre de joueurs qui disputent le tournoi, et soit \(m\) le nombre de matchs disputés durant le tournoi. Quelle est l'équation de cette fonction ?