Soit \(A\) un ensemble d'élèves, \(B\) un ensemble de balles et \(R\) la relation "être propriétaire" : \(aRb\) si \(a\) est propriétaire de la balle \(b\). Il peut éventuellement y avoir plusieurs propriétaires de la même balle.

Comment interpretez-vous la proposition suivante

Soit \(A\) un ensemble d'élèves, \(B\) un ensemble de balles et \(R\) la relation "être propriétaire" : \(aRb\) si \(a\) est propriétaire de la balle \(b\). Il peut éventuellement y avoir plusieurs propriétaires de la même balle.

Comment interpretez-vous la proposition suivante

Soit \(A\) un ensemble d'élèves, \(B\) un ensemble de balles et \(R\) la relation "être propriétaire" : \(aRb\) si \(a\) est propriétaire de la balle \(b\). Il peut éventuellement y avoir plusieurs propriétaires de la même balle.

Comment interpretez-vous la proposition suivante

Soit une fonction \(f\) définie sur un intervalle \(I\).

La définition de la continuité d'une fonction en un point s'énonce ainsi : une fonction \(f\) est continue en un point \(x\) si et seulement si la limite de \(f\) en \(x\) existe et est égale à \(f(x)\).

Pour rappel, la définition de la limite en un point est la suivante : la fonction \(f\) admet une limite \(L\) en \(x\) si et seulement si pour tout réel \(\epsilon\) positif, il existe un réel \(\delta\) positif tel que l'implication suivante est vraie : si \(y\) est dans \(I\) et \(0<\left|y-x\right| < \delta\) alors \(\left|f(y)-L\right|< \epsilon\) .

Parmi les transcriptions ci-dessous, laquelle exprime que la fonction \(f\) est continue en tout point de l'intervalle \(I\).

Les deux définitions suivantes sont elles équivalentes? \(f=I\to \mathbb{R}\) et \(\circ\) désigne la composition de fonction \((f\circ g)(x)=f(g(x))\)

• Une fonction est injective si elle possède un inverse à gauche, c'est-à-dire un \(g\) tel que \(g\circ f\) soit l'identité
• \(\forall x\in I, \forall y\in I, f(x)=f(y)\Rightarrow x=y\)

Les deux propriétés sont elles équivalentes? \(f=I\to \mathbb{R}\) et \(\circ\) désigne la composition de fonction \((f\circ g)(x)=f(g(x))\)

• \(f\) possède un inverse à droite, c'est-à-dire un \(g\) tel que \(f\circ g\) soit l'identité
• \(f\) possède un inverse à gauche, c'est-à-dire un \(g\) tel que \(g\circ f\) soit l'identité

On considère le théorème suivant :

• \(n^2\) est pair \(\Rightarrow n\) est pair

Voici une démonstration de ce théorème :

Supposons que \(n\) soit impair, alors on a

Dans ce cas \(n^2\) est impair, ce qui conclut la démonstration.

Il s'agit :

Considérons la démonstration suivante :

• Il existe une infinité de nombres premiers

On suppose que cet énoncé est faux, c'est-à-dire qu'il existe un nombre fini de nombre premier. On peut donc faire une liste \(p_1,p_2,\dots,p_n\) de tous les nombres premiers. On calcule \((p_1.p_2.\dots.p_n)+1\), c'est un nombre qui n'est pas divisible par \(p_1\) car il est de la forme \(x.p_1+1\), idem pour \(p_2\) et tous les autres nombres premiers. Comme il n'est divisible par aucun autre nombre premier, il doit donc être premier lui aussi, ce qui est une contradiction car on a supposé avoir inclus tous les nombres premiers dans la liste.

Il s'agit :

On considère le théorème suivant :

• \(\sqrt{2}\not\in\mathbb{Q}\)

Laquelle (lesquelles) des démonstrations suivante est (sont) valide(s)