Soit $A$ un ensemble d'élèves, $B$ un ensemble de balles et $R$ la relation "être propriétaire" : $aRb$ si $a$ est propriétaire de la balle $b$. Il peut éventuellement y avoir plusieurs propriétaires de la même balle.

Comment interpretez-vous la proposition suivante

Soit $A$ un ensemble d'élèves, $B$ un ensemble de balles et $R$ la relation "être propriétaire" : $aRb$ si $a$ est propriétaire de la balle $b$. Il peut éventuellement y avoir plusieurs propriétaires de la même balle.

Comment interpretez-vous la proposition suivante

Soit $A$ un ensemble d'élèves, $B$ un ensemble de balles et $R$ la relation "être propriétaire" : $aRb$ si $a$ est propriétaire de la balle $b$. Il peut éventuellement y avoir plusieurs propriétaires de la même balle.

Comment interpretez-vous la proposition suivante

Soit une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$.

La définition de la continuité d'une fonction en un point s'énonce ainsi : une fonction $f$ est continue en un point $x$ si et seulement si la limite de $f$ en $x$ existe et est égale à $f(x)$.

Pour rappel, la définition de la limite en un point est la suivante : la fonction $f$ admet une limite $L$ en $x$ si et seulement si pour tout réel $\epsilon$ positif, il existe un réel $\delta$ positif tel que l'implication suivante est vraie : si $y$ est dans $I$ et $0<\left|y-x\right| < \delta$ alors $\left|f(y)-L\right|< \epsilon$ .

Parmi les transcriptions ci-dessous, laquelle exprime que la fonction $f$ est continue en tout point de l'intervalle $I$.

Les deux définitions suivantes sont elles équivalentes? $f=I\to \mathbb{R}$ et $\circ$ désigne la composition de fonction $(f\circ g)(x)=f(g(x))$

• Une fonction est injective si elle possède un inverse à gauche, c'est-à-dire un $g$ tel que $g\circ f$ soit l'identité
• $\forall x\in I, \forall y\in I, f(x)=f(y)\Rightarrow x=y$

Les deux propriétés sont elles équivalentes? $f=I\to \mathbb{R}$ et $\circ$ désigne la composition de fonction $(f\circ g)(x)=f(g(x))$

• $f$ possède un inverse à droite, c'est-à-dire un $g$ tel que $f\circ g$ soit l'identité
• $f$ possède un inverse à gauche, c'est-à-dire un $g$ tel que $g\circ f$ soit l'identité

On considère le théorème suivant :

• $n^2$ est pair $\Rightarrow n$ est pair

Voici une démonstration de ce théorème :

Supposons que $n$ soit impair, alors on a

Dans ce cas $n^2$ est impair, ce qui conclut la démonstration.

Il s'agit :

Considérons la démonstration suivante :

• Il existe une infinité de nombres premiers

On suppose que cet énoncé est faux, c'est-à-dire qu'il existe un nombre fini de nombre premier. On peut donc faire une liste $p_1,p_2,\dots,p_n$ de tous les nombres premiers. On calcule $(p_1.p_2.\dots.p_n)+1$, c'est un nombre qui n'est pas divisible par $p_1$ car il est de la forme $x.p_1+1$, idem pour $p_2$ et tous les autres nombres premiers. Comme il n'est divisible par aucun autre nombre premier, il doit donc être premier lui aussi, ce qui est une contradiction car on a supposé avoir inclus tous les nombres premiers dans la liste.

Il s'agit :

On considère le théorème suivant :

• $\sqrt{2}\not\in\mathbb{Q}$

Laquelle (lesquelles) des démonstrations suivante est (sont) valide(s)