Soit \(E\) un ensemble et \({\cal R}\) une relation entre les éléments de \(E\)

On dit que \({\cal R}\) est symétrique si elle vérifie

• Si \(x\) est en relation avec \(y\), alors \(y\) est en relation avec \(x\)

On dit que \({\cal R}\) est antisymétrique si elle vérifie

• Si \(x\) est en relation avec \(y\) et \(y\) est en relation avec \(x\) alors \(x=y\)

L'affirmation suivante est elle vraie ou fausse?

Si une relation \({\cal R}\) n'est pas symétrique, elle est antisymétrique.

Soit une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\).

On dit que \(f\) tend vers \(x_0\) à l'infini si la condition suivante est respectée :

Pour tout \(\epsilon>0\), il existe un \(y\) tel que pour tout \(x>y\), on a \(|f(x)-x_0|<\epsilon\)

Parmi les transcriptions ci-dessous, laquelle exprime que la fonction \(f\) tend vers \(x_0\) à l'infini

Les deux définitions suivantes sont elles équivalentes? \(f=I\to \mathbb{R}\) et \(\circ\) désigne la composition de fonction \((f\circ g)(x)=f(g(x))\)

• Une fonction est surjective si elle possède un inverse à droite, c'est-à-dire un \(g\) tel que \(f\circ g\) soit l'identité
• \(\forall x\in \mathbb{R}, \exists y\in I, f(y)=x\)

On considère le théorème suivant :

• tout carré \(n^2\) a un nombre impair de diviseurs.

Supposons que le nombre \(n^2\) est un carré et possède \(2k\) diviseurs. Enlevons \(1\), \(n^2\) et \(n\). Il reste un nombre impair de diviseurs. Formons parmi ceux-ci les couples \(z_1\), \(z_2\) de nombres différents tels que \(n^2=z_1\cdot z_2\). Cela en fait un nombre pair, il doit donc en rester un. Soit \(a\) ce nombre, comme il n'est pas \(1\), \(n^2\) ou \(n\), il doit alors vérifier \(n^2=a\cdot a\), ce qui est absurde car \(a\neq n\).

Il s'agit :

On considère le théorème suivant :

• Pour tout naturel \(n\), le naturel \(2^{2n}-1\) est divisible par 3.

Voici une démonstration de ce théorème :

Si \(n=0\) alors \(2^{2*0} - 1=2^0-1=1-1=0\) est divisible par 3.

Nous prendrons ensuite l'hypothèse que \(2^{2n} - 1\) est divisible par 3. Cela nous permet d'écrire \(2^{2n} - 1 = 3 \cdot k\), pour un certain naturel \(k\). Un peu d'arithmétique et il vient \(2^{2(n+1)} - 1 = 4 \cdot 2^{2n} - 1 = 4 \cdot (3k + 1) - 1 = 3 \cdot (4k + 1).\)

Il s'agit :

Soit \(A\) un ensemble d'élèves, \(B\) un ensemble de balles et \(R\) la relation "être propriétaire" : \(aRb\) si \(a\) est propriétaire de la balle \(b\). Il peut éventuellement y avoir plusieurs propriétaires de la même balle.

Comment interprétez-vous la proposition suivante

Soit \(A\) un ensemble d'élèves, \(B\) un ensemble de balles et \(R\) la relation "être propriétaire" : \(aRb\) si \(a\) est propriétaire de la balle \(b\). Il peut éventuellement y avoir plusieurs propriétaires de la même balle.

Comment interprétez-vous la proposition suivante

Soit \(A\) un ensemble d'élèves, \(B\) un ensemble de balles et \(R\) la relation "être propriétaire" : \(aRb\) si \(a\) est propriétaire de la balle \(b\). Il peut éventuellement y avoir plusieurs propriétaires de la même balle.

Comment interprétez-vous la proposition suivante