Soit $E$ un ensemble et ${\cal R}$ une relation entre les éléments de $E$

On dit que ${\cal R}$ est symétrique si elle vérifie

• Si $x$ est en relation avec $y$, alors $y$ est en relation avec $x$

On dit que ${\cal R}$ est antisymétrique si elle vérifie

• Si $x$ est en relation avec $y$ et $y$ est en relation avec $x$ alors $x=y$

L'affirmation suivante est elle vraie ou fausse?

Si une relation ${\cal R}$ n'est pas symétrique, elle est antisymétrique.

Soit une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$.

On dit que $f$ tend vers $x_0$ à l'infini si la condition suivante est respectée :

Pour tout $\epsilon>0$, il existe un $y$ tel que pour tout $x>y$, on a $|f(x)-x_0|<\epsilon$

Parmi les transcriptions ci-dessous, laquelle exprime que la fonction $f$ tend vers $x_0$ à l'infini

Les deux définitions suivantes sont elles équivalentes? $f=I\to \mathbb{R}$ et $\circ$ désigne la composition de fonction $(f\circ g)(x)=f(g(x))$

• Une fonction est surjective si elle possède un inverse à droite, c'est-à-dire un $g$ tel que $f\circ g$ soit l'identité
• $\forall x\in \mathbb{R}, \exists y\in I, f(y)=x$

On considère le théorème suivant :

• tout carré $n^2$ a un nombre impair de diviseurs.

Supposons que le nombre $n^2$ est un carré et possède $2k$ diviseurs. Enlevons $1$, $n^2$ et $n$. Il reste un nombre impair de diviseurs. Formons parmi ceux-ci les couples $z_1$, $z_2$ de nombres différents tels que $n^2=z_1\cdot z_2$. Cela en fait un nombre pair, il doit donc en rester un. Soit $a$ ce nombre, comme il n'est pas $1$, $n^2$ ou $n$, il doit alors vérifier $n^2=a\cdot a$, ce qui est absurde car $a\neq n$.

Il s'agit :

On considère le théorème suivant :

• Pour tout naturel $n$, le naturel $2^{2n}-1$ est divisible par 3.

Voici une démonstration de ce théorème :

Si $n=0$ alors $2^{2*0} - 1=2^0-1=1-1=0$ est divisible par 3.

Nous prendrons ensuite l'hypothèse que $2^{2n} - 1$ est divisible par 3. Cela nous permet d'écrire $2^{2n} - 1 = 3 \cdot k$, pour un certain naturel $k$. Un peu d'arithmétique et il vient $2^{2(n+1)} - 1 = 4 \cdot 2^{2n} - 1 = 4 \cdot (3k + 1) - 1 = 3 \cdot (4k + 1).$

Il s'agit :

Soit $A$ un ensemble d'élèves, $B$ un ensemble de balles et $R$ la relation "être propriétaire" : $aRb$ si $a$ est propriétaire de la balle $b$. Il peut éventuellement y avoir plusieurs propriétaires de la même balle.

Comment interprétez-vous la proposition suivante

Soit $A$ un ensemble d'élèves, $B$ un ensemble de balles et $R$ la relation "être propriétaire" : $aRb$ si $a$ est propriétaire de la balle $b$. Il peut éventuellement y avoir plusieurs propriétaires de la même balle.

Comment interprétez-vous la proposition suivante

Soit $A$ un ensemble d'élèves, $B$ un ensemble de balles et $R$ la relation "être propriétaire" : $aRb$ si $a$ est propriétaire de la balle $b$. Il peut éventuellement y avoir plusieurs propriétaires de la même balle.

Comment interprétez-vous la proposition suivante