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Author(s) Philippe Delsarte, Manon Oreins
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Fonctions - Q6

On s’intéresse aux six fonctions \(f_i : x \mapsto f_i(x)\) données par

\begin{equation*} \begin{array}{lll} f_1(x) = 2x + 1, \quad & f_2(x) = x^2 + 3, \quad & f_3(x) = 1 - \sqrt{x} f_4(x) = 3^{1/x} - 1, \quad & f_5(x) = \sin x + \cos x, \quad & f_6(x) = \pi + \arctan x. \end{array} \end{equation*}

Pour \(i = 1, \cdots, 6\), la fonction \(f_i\) est-elle injective (cela signifie exactement que \(f_i\) possède une réciproque) ? Si la réponse est oui, donner la réciproque de \(f_i\). Si c’est non, déterminer un sous-ensemble maximal du domaine de \(f_i\) sur lequel \(f_i\) est injective ; et donner la réciproque de la restriction de \(f_i\) à ce sous-ensemble.

Une fonction injective \(f\) induit une bijection de son domaine de définition, noté \(\mbox{Dom} \, f\), vers son ensemble image, noté \(\mbox{Im} \, f\). Dans cette situation, la réciproque de \(f\), notée classiquement \(f^{-1}\), est la bijection inverse, de \(\mbox{Im} \, f\) vers \(\mbox{Dom} \, f\). Insistons :

\begin{equation*} \mbox{Dom} \, f^{-1} = \mbox{Im} \, f \;\, \mbox{et} \;\, \mbox{Im} \, f^{-1} = \mbox{Dom} \, f. \end{equation*}

Question 1:
\begin{equation*} f_1(x) = 2x + 1 \end{equation*}
Question 2:
\begin{equation*} f_2(x) = x^2 + 3 \end{equation*}
Question 3:
\begin{equation*} f_3(x) = 1 - \sqrt{x} \end{equation*}
Question 4:
\begin{equation*} f_4(x) = 3^{1/x} - 1 \end{equation*}
Question 5:
\begin{equation*} f_5(x) = \sin x + \cos x \end{equation*}
Question 6:
\begin{equation*} f_6(x) = \pi + \arctan x \end{equation*}